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SYMETRIE

Un papillon, pour exemple, est symétrique parce qu'on peut permuter tous les points de la moitié gauche de son corps avec tous les points de la moitié droite sans que son apparence soit modifiée.

On peut échanger les deux moitiés sans changer la forme de l'ensemble. Les figures symétriques rendent visible l'égalité des formes parce que les parties permutables ont toujours la même forme. On pourrait en faire une définition du concept : une figure est symétrique lorsqu'elle répète une même forme de façon régulière.

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Une autre civilisation sera elle aussi symétrique? L’entité qui nous feras face auras un corps symétrique tout comme nous.

Tout ce qui nous entour est basé sur la symétrique : La nature, l’univers, les atomes, la vie, etc.

Difficile d’imaginé un vaisseau spatial à moitie rond et carré voir une autre conscience dont le corps serait pour sa moitie différent de sont opposé un bras et de l’autre coté un tentacule pour exemple. La symétrie fait partie intégrante de l’univers et n‘est pas cantonne seulement a la terre 

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Saturne et ses anneaux. Les planètes et les étoiles sont à peu près symétriques pour les rotations autour de leur axe.

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 Il en va de même pour les gouttes.

Le concept de forme est défini en mathématiques à partir de celui d'isomorphisme. Deux systèmes isomorphes ont la même forme.

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Un système, une structure mathématique, un modèle, un univers, ou un monde, au sens mathématique, est déterminé avec plusieurs ensembles

  • l’ensemble U des éléments du système, ses points, ses atomes ou ses constituants élémentaires,
  • l’ensemble des prédicats fondamentaux, propriétés de base des éléments et relations entre eux,
  • l’ensemble des opérateurs, ou fonctions, qui déterminent davantage la structure du système.

Souvent par abus de langage, on identifie une structure par l'ensemble U de ses éléments.

Soient U et U' deux structures définies par les relations binaires R et R' respectivement. Une transformation inversible t (une bijection) de U dans U' est un isomorphisme pour R et R' lorsque :

pour tout x et tout y dans U, x R y si et seulement si tx R' ty

S'il existe une telle transformation t, U et U' sont isomorphes - plus précisément les structures (U,R) et (U',R') sont isomorphes.

Cette définition peut être aisément généralisée à toutes les relations, quel que soit le nombre de leurs arguments, et aux prédicats monadiques.

Soient U et U' deux structures définies par les opérateurs binaires + et +' respectivement. Une bijection t de U dans U' est un isomorphisme pour + et +' lorsque :

pour tout x et tout y dans U, t(x+y) = tx +' ty

S'il existe une telle transformation t, U et U' sont isomorphes - plus précisément les structures (U,+) et (U',+') sont isomorphes.

Cette définition peut être aisément généralisée à tous les opérateurs, quel que soit le nombre de leurs arguments.

À un opérateur binaire +, on peut associer une relation ternaire définie par x+y=z. On voit alors que la définition d’un isomorphisme pour un opérateur est un cas particulier de la définition d’un isomorphisme pour les relations.

Lorsque les structures sont définies avec plusieurs prédicats, monadiques ou relationnels, et plusieurs opérateurs, les isomorphismes sont les bijections qui sont des isomorphismes pour tous les prédicats et tous les opérateurs. Ainsi défini le concept d'isomorphisme est universel, il peut être appliqué à toutes les structures mathématiques (les définitions d'un homéomorphisme et d'un difféomorphisme requièrent davantage de précisions.)

Le concept d'automorphisme

Permet de préciser celui de symétrie. Les permutations, ou transformations, qui laissent la forme inchangée, sont les symétries, ou les automorphismes, du système. Un automorphisme est un isomorphisme interne. Les automorphismes d'une structure U sont les bijections de U dans U qui sont des isomorphismes pour tous les prédicats et tous les opérateurs qui déterminent la structure. Plus explicitement :

Une fonction inversible, ou bijection, de U dans U est un automorphisme pour une relation binaire R lorsque

Cette définition d’un automorphisme se généralise aisément aux prédicats monadiques et à toutes les relations, quel que soit le nombre de leurs arguments. Pour un prédicat monadique P, une transformation t est un automorphisme lorsque

Dans l’exemple du papillon, la symétrie entre la gauche et la droite est un automorphisme pour les propriétés (les prédicats monadiques) de couleur. Un point a la même couleur que son point symétrique.

Une transformation t est un automorphisme pour un opérateur binaire + lorsque

Cette définition d’un automorphisme se généralise aisément à tous les opérateurs, quel que soit le nombre de leurs arguments. t est un automorphisme pour un opérateur à un argument lorsque

Autrement dit, une transformation est un automorphisme pour un opérateur monadique (une fonction d'une seule variable) lorsqu'elle commute avec lui. Lorsque des opérateurs commutent entre eux, ils sont tous des automorphismes les uns vis-à-vis des autres, au sens où toute forme définie par l'un est conservée par tous les autres.

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Les automorphismes d'une structure forment un groupe, au sens de l'algèbre, son groupe de symétries. Pour tous automorphismes t et u, t°u est un automorphisme et l’inverse de t est un automorphisme. La transformation identique (qui associe toujours x à x) est un automorphisme. Autrement dit :

  • Si une forme est conservée par deux transformations effectuées séparément, elle est aussi conservée lorsqu'on effectue les deux transformations l'une à la suite de l'autre. C'est simplement la transitivité de l'égalité des formes.
  • Si une forme est conservée par une transformation, elle est aussi conservée par la transformation inverse.
  • En outre, il existe toujours une transformation identique, qui ne transforme rien, qui est donc toujours un automorphisme, puisqu'elle ne peut pas modifier quoi que ce soit.

Ces trois propriétés font de l'ensemble des automorphismes d'un système un groupe pour sa loi de composition interne naturelle.

Les isométries

Sont les automorphismes de l'espace pour sa structure métrique. t est une isométrie si et seulement si d(x,y)=d(tx,ty) pour tous x et y, où d(x,y) est la distance entre x et y. Ce sont des automorphismes pour toutes les relations binaires d(x,y)=L où L est un nombre réel positif, parce que d(x,y)=L si et seulement si d(tx,ty)=L.

L’espace euclidien en son entier est un des systèmes les plus symétriques, au sens où l’ensemble des façons de permuter simultanément tous ses points sans modifier sa structure, son groupe de symétries, est l’un des plus grands, parmi les groupes des symétries géométriques. Tous les points de l’espace sont semblables. Ils n’ont pas d’autre qualité que d’être un point et ils ont tous les mêmes relations avec le reste de l’espace. Que n’importe quel point peut être transformé en n’importe quel autre par une isométrie traduit cette égalité de tous les points de l'espace.

Si l’on brise la symétrie de l’espace en introduisant une sphère, alors tous les points ne sont plus semblables : il y a des points sur la sphère, d’autres à l’intérieur et d’autres à l’extérieur. En revanche, tous les points de la sphère sont semblables. N’importe lequel d’entre eux peut être transformé en n’importe quel autre par une isométrie : une rotation autour du centre de la sphère. Comme les chevaliers de la Table Ronde, aucun n'a une position privilégiée. Ils sont tous également placés les uns par rapport aux autres.

La structure d'une molécule ou d'un cristal est définie en mécanique quantique par la fonction d'onde de tous ses constituants, noyaux et électrons. Mais pour de nombreux usages, on peut modéliser la structure simplement par les positions des centres des atomes ou des ions. Avec un tel modèle, la structure est complètement décrite avec les prédicats monadiques "est le centre d'un atome de l'espèce i" et "est le centre d'un ion de l'espèce j". Les symétries de la molécule ou du cristal peuvent être alors définies comme les isométries de l'espace qui sont aussi des automorphismes pour les prédicats monadiques de structure. Les symétries transforment toujours le centre d'un atome ou d'un ion en un centre d'un atome ou d'un ion de même espèce.

Selon l'usage courant une structure et un modèle réduit ont la même forme. Pour préciser ce concept de forme, il faut définir les automorphismes de l'espace comme des similitudes. Elles conservent les rapports de distance, elles sont donc des automorphismes pour les prédicats quaternaires d(A,B)=k.d(C,D), pour tous les nombres réels positifs k. Plus explicitement, lorsque s est une similitude :

d(A,B)=k.d(C,D) si et seulement si d(sA,sB)=k.d(sC,sD)

pour tous les points A,B,C et D et tout nombre réel positif k.

Une spirale est invariante pour toutes les transformations composées d'une rotation d'angle et d'une homothétie de rapport . Ces similitudes d'angle et de rapport sont donc les symétries de la spirale.

Les trajectoires périodiques (les oscillations, les vibrations, les mouvements des satellites,...) sont des structures spatio-temporelles symétriques pour certaines translations dans le temps. T est une période d'une trajectoire lorsque (x,t) est sur la trajectoire si et seulement si (x,t+T) l'est aussi. Les translations de durée T, 2T, 3T,... , considérées comme des transformations de l'espace-temps sont des automorphismes pour le prédicat monadique "est sur la trajectoire".

La structure de l'espace-temps peut être définie par la pseudo-métrique de Minkowski : à deux points quelconques et de coordonnées et respectivement, on associe un nombre réel, positif ou négatif (le carré de sa distance relativiste) Les symétries de l'espace-temps forment le groupe de Poincaré.

Les symétries de l'espace et du temps

Ont une importance fondamentale pour la physique à cause du principe de l'égalité de tous les observateurs. Comme autour d'une table ronde nous sommes tous également placés les uns par rapport aux autres. Aucun d'ente nous n'a une position privilégiée. Toute observation faite par l'un peut être faite par un autre. On peut donc permuter les observateurs sans modifier les observations. Puisqu'à chaque observateur est lié un référentiel, les symétries de l'espace-temps doivent permettre de transformer n'importe quel référentiel en n'importe quel autre. Le groupe des symétries de l'espace-temps est donc une expression mathématique du principe de l'égalité de tous les observateurs.

En physique la notion de symétrie, appelée aussi invariance, renvoie à la possibilité de considérer un même système physique selon plusieurs points de vues distincts en termes de description mais équivalents quant

Le statut de la notion de symétrie a beaucoup évolué. D'abord reconnue comme propriété des systèmes physiques, elle a ensuite été utilisée comme méthode théorique de génération de nouvelles solutions des équations qui gouvernent l'évolution de ces systèmes (d'où l'introduction du concept de groupe de Lie) et enfin depuis la deuxième moitié du XXe siècle la notion de symétrie prend une importance encore plus fondamentale puisque depuis cette époque, une théorie quantique est toujours définie principalement par la symétrie qui la sous-tend.

On présente ici les différents contextes de la physique classique où la notion de symétrie est particulièrement importante. On présente la notion d'isotropie, appelée encore symétrie de rotation, ou encore d'homogénéité qui est liée à l'invariance par translation dans l'espace.

Le théorème de Noether établit que pour toute quantité conservée il existe une symétrie sous-jacente de la théorie.

Il y a trois types de distinctions des symétries qui apparaissent en physique

  • La première, la distinction symétrie discrète/symétrie continue, renvoie à la structure mathématique du groupe utilisé pour décrire formellement la symétrie ;
  • La seconde, la distinction symétrie globale/symétrie locale, renvoie à la structure physique de la théorie en indiquant si la symétrie dont on parle peut être appliquée en chaque point de l'espace de façon indépendante ou non ;
  • La dernière, la distinction symétrie interne/symétrie d'espace-temps, renvoie à l'objet sur lequel la symétrie agit. S'il s'agit d'un objet physique, comme le champ électromagnétique par exemple, alors on parle de symétrie interne. Si la symétrie agit sur l'espace dans lequel les objets physiques baignent, alors on parle de symétrie d'espace-temps.

Symétrie discrète

Une symétrie est dite discrète lorsque l'ensemble des opérations de transformation autorisées constitue un ensemble fini. Par exemple les cristaux possèdent le plus souvent un groupe de symétrie discret appelé groupe cristallographique. D'autres symétries discrètes sont importantes en mécanique quantique: il s'agit des symétries de conjugaison de charge, de parité et d'inversion du temps qui permettent d'exprimer le théorème CPT affirmant que toute théorie quantique doit être invariante sous le produit de ces trois symétries.

De façon intuitive, une symétrie est dite continue lorsque les paramètres qui la déterminent varient de façon continue. C'est le cas de la symétrie de rotation qui est associée au groupe de rotations dans l'espace par exemple. Ce dernier est paramétrisé par les trois angles d'Euler qui varient en effet de façon continue. La structure mathématique qui sous-tend la description des symétries continues est la théorie des groupes de Lie dont le groupe des rotations est un exemple.

Une symétrie est globale

On dit encore rigide, si on effectue la même transformation en tous les points du système pour aboutir à une configuration équivalente. Par exemple la loi universelle de la gravitation de Newton qui s'exerce entre deux corps est inchangée lorsqu'on effectue une rotation ou une translation identique sur les deux corps. On dit donc que la loi de la gravitation universelle est invariante sous les transformations globales de rotation et de translation.

Il arrive parfois qu'une théorie admette une symétrie bien plus grande et autorise à effectuer des transformations différentes en chaque point de l'espace. Lorsque ce phénomène se produit, on parle alors de symétrie locale. Le premier cas connu de symétrie locale est celui de l'électromagnétisme. En effet les équations de Maxwell sont inchangées lorsqu'on change simultanément le potentiel électrique par la dérivée par rapport au temps d'une fonction arbitraire et qu'on change le potentiel vecteur par le gradient de cette même fonction. Si cette fonction varie selon le temps et l'espace alors en chaque point on effectue bien une transformation différente. Pourtant les équations restent inchangées et les conclusions physiques restent les mêmes. La fonction arbitraire servant à construire ces transformations paramétrise le groupe de symétrie locale de l'électromagnétisme qui est notée mathématiquement.

Dans le cas qu'on vient de voir, la symétrie utilisée agissait sur les champs de la théorie, il s'agissait donc d'une symétrie interne et dans ce cas on parle d'invariance de jauge. L'électromagnétisme est donc un exemple de théorie de jauge.

Si on a affaire à une symétrie d'espace-temps, comme le cas des translations par exemple, les choses sont un peu plus compliquées d'un point de vue technique. Si la théorie est telle que cette symétrie est en plus locale, elle possède alors l'invariance par reparamétrisation de l'espace-temps, on parle encore de covariance générale, et il s'agit alors de la relativité générale. La loi universelle de la gravitation est invariante sous les transformations globales de translation mais pas locales. La relativité générale peut donc être vue comme l'extension de la gravité newtonienne pour laquelle on a agrandi l'ensemble des transformations sous lesquelles elle est invariante.

Les deux cas que nous avons vus correspondaient à des groupes de symétrie discrets. Un cas plus exotique est celui de la construction d'orbifolds en théorie des cordes qui permet de construire des exemples de symétrie locale pour une symétrie discrète.

Appelée aussi invariance sous les translations, cette symétrie dit que les lois physiques (relativité, gravité, électromagnétisme…) restent les mêmes en tout point de l'univers.

Cette symétrie, appelée aussi invariance sous les rotations ou isotropie, désigne la caractéristique topologique d'une théorie ou d'un système physique qui n'est pas transformé par une rotation. L'objet le plus symétrique, sur ce point de vue, est la sphère car, elle reste mathématiquement inchangée par n'importe quelle rotation.

L'intégrabilité est la propriété que possèdent certains systèmes d'avoir autant de quantités conservées que de degrés de liberté. Dans ce cas, la donnée de ces constantes du mouvement suffit à déterminer complètement le comportement du système. Le cas le plus simple est celui d'un seul degré de liberté comme un ressort oscillant selon une seule direction ou un pendule oscillant dans un plan. Dans ce cas, si le système est isolé, la seule donnée de l'énergie suffit à connaître toute la dynamique.

Certains systèmes possédant un nombre infini de degrés de liberté possèdent également un nombre infini de quantités conservées. Dans nombre de situations intéressantes cette propriété suffit à déterminer complètement l'ensemble des observables importantes du système. Pour cette raison on dit aussi des modèles qui les décrivent qu'ils sont exactement solubles. En accord avec le théorème de Noether l'algèbre de symétrie de tels systèmes est de dimension infinie.

La symétrie est d'autant plus grande que les degrés de liberté sont redondants

 

En mécanique quantique, dans laquelle le système est décrit par des états quantiques qui forment un espace mathématique appelé espace de Hilbert, une transformation de symétrie représente le fait de changer ces états quantiques sans pour autant modifier le résultat de la mesure des observables de la théorie.

Le théorème de Wigner montre alors qu'une telle transformation de symétrie doit être représentée par un opérateur possédant certaines propriétés mathématiques précises et agissant sur l'espace de Hilbert.

Si on appelle l'opérateur de symétrie dans la représentation de Schrödinger dans laquelle les états quantiques évoluent avec le temps

Dans le cas où l'opérateur de symétrie ne dépend pas explicitement du temps (donc ) Cette relation exprime alors que cette symétrie est associée à une constante du mouvement par rapport au temps.

Dans la représentation de Heisenberg par contre, dans laquelle les états quantiques n'évoluent pas avec le temps, l'opérateur de symétrie prend une autre forme

Lorsque le système possède la symétrie qui est le groupe décrivant les rotations de l'espace alors on peut classer les états quantiques selon leur spin qui permet de mesurer la façon dont ils se transforment sous ce groupe.

Cas d'une théorie des champs en deux dimensions : la symétrie conforme

La symétrie conforme est la propriété que possèdent certains systèmes de paraître semblables à eux-mêmes en changeant l'échelle d'observation (on dit aussi auto-similaires). En physique statistique on observe une grande classe de tels systèmes au cours d'une transition de phase.

La symétrie conforme peut être réalisée dans des systèmes de dimensions variées mais le cas à deux dimensions est très particulier car le groupe conforme qui est associé à cette symétrie possède alors une dimension infinie. Un aussi grand groupe de symétries impose des contraintes très fortes sur la structure des observables du système et dans nombre de situations la symétrie conforme est suffisante pour connaître exactement toutes les caractéristiques physiques du système.

Les contraintes supplémentaires apportées par la symétrie conforme peut amener des systèmes en apparence différents d'un point de vue microscopique à partager des propriétés macroscopiques communes lors de transitions de phase, on appelle cette propriété universalité

Expérimentalement il peut arriver qu'une symétrie ne soit pas observée. On dit alors que la symétrie est brisée. Cette brisure peut avoir deux origines : soit la symétrie attendue n'est pas une invariance fondamentale des lois sous-jacentes et alors on parle de brisure explicite, soit elle est une invariance fondamentale mais les conditions expérimentales sont telles que la symétrie n'apparaît pas explicitement. On parle dans ce cas de brisure spontanée

Pour illustrer le mécanisme de brisure spontanée de symétrie il suffit de considérer l'exemple suivant : certains corps, comme le fer, le cobalt ou le nickel, sont susceptibles d'acquérir une aimantation lorsqu'ils sont mis en présence d'un champ magnétique. Ce sont des corps dits ferromagnétiques. Plus précisément, lorsque leur température est inférieure à leur température de Curie alors ils sont aimantables et un champ magnétique extérieur, même faible, suffit à faire apparaître dans tout le matériau une aimantation qui pointe dans la direction du champ extérieur. Si par la suite on éteint complètement ce champ extérieur, le corps conserve cette aimantation non-nulle. Si ensuite on remonte progressivement la température jusqu'à atteindre puis dépasser sa température de Curie alors le corps perd son aimantation.

Pour décrire cette réaction très sensible à une faible perturbation extérieure (ici un champ magnétique), on dit qu'un corps ferromagnétique acquiert spontanément une aimantation lorsqu'il est refroidi en dessous de sa température de Curie. Cette aimantation fixe une direction particulière de l'espace et brise l'isotropie des lois de la mécanique quantique régissant le comportement des électrons au sein du matériau. Néanmoins cette brisure est faible au sens où si le champ magnétique externe avait pointé dans une autre direction, alors le ferromagnétique aurait acquis une aimantation pointant dans cette autre direction. À chaque fois la symétrie de rotation est donc brisée mais il y a "démocratie" entre toutes les directions de brisure possibles.

Lorsque la température remonte au-delà de la température de Curie, le corps perd sa capacité à acquérir une aimantation et il ne réagit plus à un champ magnétique externe. On dit donc qu'au-delà de cette température critique la symétrie de rotation est restaurée.

Les aspects qui viennent d'être décrits pour le ferromagnétisme sont très généraux et s'appliquent de façon semblable à tous les phénomènes de brisure spontanée de symétrie, qu'il s'agisse aussi bien de physique classique comme on l'a vu que de physique quantique avec l'exemple du mécanisme de Higgs, par lequel les particules élémentaires du modèle standard acquièrent leur masse. Au cours de ce processus c'est la symétrie de jauge de la théorie électrofaible qui est spontanément brisée par le fait que le champ de Higgs acquiert une valeur moyenne dans le vide non nulle à basse température.

Dans un phénomène général de brisure spontanée de symétrie, il existe un paramètre continu (l'aimantation dans le cas du ferromagnétisme, la valeur moyenne du champ de Higgs en physique des particules) du système, appelé paramètre d'ordre, tel qu'en dessous d'une certaine valeur critique de la température, le système se trouve dans une phase où la symétrie est brisée et au-dessus de laquelle la symétrie est restaurée. Le fait de passer d'un régime à l'autre s'appelle une transition de phase.

Il faut noter toutefois qu'en pratique, si pour des raisons quelconques il n'y a pas de petite perturbation extérieure au système qui lui fait choisir un état brisant la symétrie alors il peut conserver un état parfaitement symétrique bien qu'il se trouve dans la phase où la symétrie est brisée. On dit alors qu'il se trouve dans un état métastable. Par exemple l'eau peut se trouver en état de surfusion si sa température est en dessous de 0 degrés mais qu'il n'existe aucune impureté pour commencer à former des cristaux de glace en son sein. Un exemple historique célèbre d'eau en surfusion est celui de la mort tragique des chevaux ayant traversé le lac Ladoga pendant la Première Guerre mondiale.

Une théorie peut posséder une symétrie au niveau classique, visible par exemple au niveau de son Hamiltonien, mais être brisée après la procédure de quantification par de subtils effets quantiques.

L'exemple le plus remarquable d'anomalie découvert est celui de l'anomalie d'échelle dans le cadre de la théorie quantique des champs. En effet, dans une théorie des champs ne possédant que des champs de masse nulle on peut effectuer une transformation d'échelle sur les directions d'espace et de temps sans pour autant affecter les équations du mouvement de la théorie. Pourtant, comme on peut le montrer par des calculs explicites les observables quantiques ne satisfont pas à la symétrie d'échelle en général et en conséquence les équations du groupe de renormalisation permettent de calculer explicitement la dépendance des mesures quantiques en fonction de l'échelle d'observation. C'est précisément cette anomalie d'échelle qui est responsable de la liberté asymptotique de la chromodynamique quantique.

Un autre exemple d'anomalie remarquable est celui de l'anomalie chirale. Le modèle standard confirmé par les observations montre une dissymétrie apparente entre bosons et fermions dans la nature. Une brique de ce modèle cependant n'a pas encore été observée: le boson de Higgs qui est responsable de la brisure électrofaible et de l'existence d'une masse non nulle pour les champs de matière (électron, quarks etc.). Se pose donc la question de sa masse qui détermine le niveau d'énergie auquel on pourra éventuellement l'observer.

Comme on l'a introduit lorsqu'on a évoqué la renormalisation, les effets quantiques affectent la masse observée de toutes les particules et en particulier de la masse du Higgs. Or à la différence des autres particules, le boson de Higgs est un champ scalaire. D'un point de vue technique et à la différence des autres particules, un champ scalaire peut recevoir des corrections extrêmement grandes à sa masse (on dit qu'il n'est pas protégé) et la seule échelle naturelle pour ces corrections est la masse de Planck. Si comme on l'espère le Higgs ne se trouve pas à de tels niveaux d'énergie, et qu'au contraire il est observable à une échelle de l'ordre du TeV, il est nécessaire de trouver un mécanisme expliquant une masse observée si faible: c'est le problème de la hiérarchie qui est une question majeure d'un point de vue phénoménologique.

La supersymétrie

Qui postule l'existence pour chaque boson d'une particule fermionique associée et réciproquement, a été introduite pour la première fois en 1971. Elle permettrait de résoudre naturellement le problème de la hiérarchie car dans ce cas on peut montrer que la correction à la masse du Higgs par une particule donnée est toujours annulée par celle de son partenaire supersymétrique. À ce jour il n'existe pas d'autre proposition résolvant le problème de la hiérarchie et la supersymétrie est donc devenue un concept majeur de la physique théorique depuis cette époque.

Comme la supersymétrie n'est pas observée dans la nature il est alors nécessaire d'introduire en même temps un mécanisme de brisure de la supersymétrie. Il existe beaucoup de tels modèles et il ne sera possible de discriminer entre eux qu'une fois que la super symétrie est observée, si elle est effectivement observée. Ils ont néanmoins tous en commun de briser spontanément la super symétrie dans la mesure où ces modèles contiennent toujours une restauration de la super symétrie à haute énergie

Source : wikipedia


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